Matemática discreta Ejemplos

$h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$

Paso 1

Establece $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ igual a $0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Paso 2.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Paso 2.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Paso 2.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 36$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$8 + 16 + 6 \cdot 2 - 36$

Paso 2.1.3.5

Suma $8$ y $16$ .

$24 + 6 \cdot 2 - 36$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $6$ por $2$ .

$24 + 12 - 36$

Paso 2.1.3.7

Suma $24$ y $12$ .

$36 - 36$

Paso 2.1.3.8

Resta $36$ de $36$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36}{x - 2}$

Paso 2.1.5

Divide $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ por $x - 2$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$36$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							+	$18 x$	-	$36$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $18 x - 36$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 6 x + 18$

Paso 2.1.6

Escribe $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4

Establece $x^{2} + 6 x + 18$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} + 6 x + 18$ igual a $0$ .

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} + 6 x + 18 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = 18$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $18$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 72}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $72$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 6 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm 3 i$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Paso 3